Introducción

La prueba exponencial (así aparece en el temario), es una modificación de la prueba de Kolmogorov-Smornov propuesta por Lilliefors (1969) para contrastar si una muestra aleatoria proviene de una población \(Exp(\lambda)\), con \(\lambda\) desconocida.

Planteamiento

• Se tiene una muestra aleatoria \(X_1, \ldots, X_n\) de una población con distribución \(F(x)\) y se tiene interés en contrastar las hipótesis \[ H_0: F = F_\lambda \qquad \text{vs.} \qquad F \neq F_\lambda \] donde \(F_\lambda\) denota la función de distribución exponencial con parámetro \(\lambda\), \(\lambda > 0\) desconocido.

• \(H_0\) es una hipótesis compuesta, ya que no se especifica el valor de \(\lambda\), por lo que la prueba de Kolmogorov-Smirnov no puede ser utilizada.

• La prueba exponencial se basa en un estadístico tipo Kolmogorov-Smirnov para los datos transformados, al igual que la prueba de Lilliefors para normalidad

Procedimiento

• Se calculan \(Y_1, \ldots, Y_n\) como sigue \[ Y_i = \frac{X_i}{\bar{X}_n}, \quad i = 1, \ldots, n, \quad \text{con} \quad \bar{X}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i. \]

• El estadístico de prueba es \[ D = \sup_{y\in (0, \infty)} \left\lbrace \vert\, F_n(y) - F_1(y) \,\vert \right\rbrace \]

donde \(F_n\) denota la función de distribución empírica de la muestra transformada y \(F_1\) denota la función de distribución exponencial con parámetro \(\lambda = 1\).

• Para contrastar si la muestra original proviene de una distribución exponencial, se compara el valor del estadístico \(D\) contra los valores críticos de su distribución.

Procedimiento

• Si \(D^{(1-\alpha)}\) es el cuantil \(1-\alpha\) de la distribución de \(D\) bajo \(H_0\), entonces se rechaza la hipótesis \(H_0: F = F_\lambda\) con una significancia aproximada \(\alpha\), si \(D > D^{(1-\alpha)}\).

• Anteriormente se utilizaban tablas de la distribución del estadístico \(D\) para distintos valores de \(n\).

• En la actualidad, es posible aproximar la distribución de \(D\) vía simulación, por lo que podemos presindir de las tablas.

Aproximación de la distribución de \(D\)

• Para \(n\) dado, generar una muestra \(x_1, \ldots, x_n\) de la distribución \(Exp(\lambda)\).

• Calcular \(y_i = x_i/\bar{x}_n\), \(i=1,\ldots, n\), con \(\bar{x}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i\).

• Calcular \(d_1 = \sup_{y\in (0, \infty)} \left\lbrace \vert\, F_n(y) - F_1(y) \,\vert \right\rbrace\).

• Repetir los pasos anteriores un número grande de veces \(m\), para obtener \(d_1, \ldots, d_m\).

• Los valores \(d_1, \ldots, d_m\) son realizaciones del estadístico \(D\) y su distribución de frecuencias se puede utilizar para aproximar los cuantiles \(D^{(1-\alpha)}\).

Simulación de la distribución de \(D\).

El siguiente código en R nos permite generar 75,000 observaciones de la distribución de \(D\) para \(n = 20\).

set.seed(1010)
m <- 7.5E4; n <- 20; D <- c()
for(i in 1:m)
{
  x <- rexp(n, 1)
  x <- sort(x)
  fn <- ecdf(x)
  x0 <- c(0, x[-n])
  dif1 <- max(fn(x) - pexp(x, 1/mean(x)))
  dif2 <- max(pexp(x, 1/mean(x)) - fn(x0))
  D[i] <- max(dif1, dif2)
}

Comparación de los valores simulados

v_criticos <- quantile(D, probs = c(0.80, 0.85, 0.90, 0.95, 0.99))
round(v_criticos, 3)

##   80%   85%   90%   95%   99% 
## 0.189 0.199 0.213 0.234 0.278

Valores críticos de la distribución del estadístico \(D\). Tomado de Lilliefors (1969).

Ejemplo: normal truncada

• Se genera la muestra de la distribución normal truncada

ejemplo1 <- abs(rnorm(n))

• Calculamos el estadístico \(D\) para esta muestra

ejemplo1 <- sort(ejemplo1)
fn_1 <- ecdf(ejemplo1)
ejemplo10 <- c(0, ejemplo1[-n])
dif1 <- max(fn_1(ejemplo1) - pexp(ejemplo1, 1/mean(ejemplo1)))
dif2 <- max(pexp(ejemplo1, 1/mean(ejemplo1)) - fn_1(ejemplo10))
D1 <- max(dif1, dif2); D1

## [1] 0.1948092

• Calculamos el p-value

mean(D > D1)

## [1] 0.1704533

• No se rechaza que la verdadera distribución de exponencial.

Ejemplo: distribución gamma

• Se genera la muestra de la distribución \(Ga(3, 2)\)

ejemplo2 <- rgamma(n, 3, 2)

• Calculamos el estadístico \(D\) para esta muestra

ejemplo2 <- sort(ejemplo2)
fn_2 <- ecdf(ejemplo2)
ejemplo20 <- c(0, ejemplo2[-n])
dif1 <- max(fn_2(ejemplo2) - pexp(ejemplo2, 1/mean(ejemplo2)))
dif2 <- max(pexp(ejemplo2, 1/mean(ejemplo2)) - fn_2(ejemplo20))
D2 <- max(dif1, dif2); D2

## [1] 0.2641838

• Calculamos el p-value

mean(D > D2)

## [1] 0.01685333

• Se rechaza que la verdadera distribución de exponencial.

Referencias

• Lilliefors, H. (1969). On the Kolmogorov-Smirnov Test for the Exponential Distribution with Mean Unknown. Journal of the American Statistical Association, 64(325), 387-389. doi:10.2307/2283748. Disponible en: https://www.jstor.org/stable/2283748.