La prueba Lilliefors es una adaptación de la prueba KS, esto es porque esta prueba se basa en la misma idea de Kolmogorov-Smirnov, sólo que aplicado al caso de \(Normalidad\), en este caso dada una muestra aleatoria \(X_1,\dots,X_n\) se desea hacer la siguiente prueba:

\[ H_0:F_X(x)=N(\mu,\sigma^2)\,\,\,v.s\,\,\,H_1:F_X(x)\neq N(\mu,\sigma^2) \]

La gran ventaja de esta prueba es que no necesariamente se tienen que conocer los parámetros exactos de la distribución, pues estos se podrian estimar sin mayor complejidad.

Si ambos parámetros se desconocen, entonces los estimaremos de la siguiente manera:

• \(\hat{\mu}=\bar{X}=\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n}\)
• \(\hat{\sigma}^2=S^2=\frac{\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2}{n-1}\)

Lo hacemos de esta manera porque se ha demostrado que \(\bar{X}\) y \(S^2\) son estimadores insesgados para los parámetros \(\mu\) y \(\sigma^2\) respectivamente.

Después de estimar los parámetros procederemos a estandarizar nuestra muestra, es decir:

• \(Z_i=\frac{X_i-\bar{X}}{S}\) con \(S=\sqrt{S^2}\)

De esta manera sabremos que bajo \(H_0\), \(Z_i \sim N(0,1)\).

Por lo tanto estariamos probando la siguiente hipótesis:

\[ H_0:F_Z(z)=N(0,1)\,\,\,v.s\,\,\,H_1:F_Z(z)\neq N(0,1) \] Y el estadístico de prueba sería:

\[ L_n=\sup_{z \in \mathbb{R}} \vert F_n(z)-F^*_Z(z)\vert =\sup_{z \in \mathbb{R}} \vert F_n(z)-\phi(z)\vert \]

Observemos dos aspectos importantes bajo \(H_0\):

• La distribución de \(L_n\) no dependerá de parámetros desconocidos.
• Si \(H_0\) es cierta entonces \(L_n\rightarrow 0\) y se rechazaría \(H_0\) cuando \(L_n>\omega_{L}^{(1-\alpha)}\), donde \(\omega_{L}^{(1-\alpha)}\) es el cuantil que acomula \(1-\alpha\) de probabilidad.

Dada una muestra observada \(x_1,\dots,x_n\) y una función de distribución \(N(\mu,\sigma^2)\):

• Se ordena la muestra, es decir se obtienen los estadísticos de orden \(x_{(1)},x_{(2)},\dots,x_{(n)}\)
• Se calcula \(\bar{x}\) y \(s^2\)
• Se transforma la muestra en: \(z_{(i)}=\frac{x_{(i)}-\bar{x}}{s}\), con \(s=\sqrt{s^2}\)
• Se calcula \(\phi(z_{(i)})\,\,\,\forall \,i\in\{1,\dots,n\}\)
• Se calcula \(F_n(Z_{(i)})=\frac{i}{n}\,\,\,\forall \,i\in\{1,\dots,n\}\)

• Se calcula \(L^+_n=\max\{\vert F_n(z_{(i)})-\phi(z_{(i)}) \vert \}\)
• Se calcula \(L^-_n=\max\{\vert \phi(z_{(i)})-F_n(z_{(i-1)}) \vert \}\) (Recordando que \(F_n(z_{(0)})=0\)).
• Se calcula \(L_n=\max\{L^+_n,L^-_n\}\)
• Se obtiene el \(p-vale\) o el cuantil \(\omega_{L}^{(1-\alpha)}\) y se determina si se rechaza o no se rechaza \(H_0\) (Se rechaza \(H_0\) si \(p-value < \alpha\) o si \(L_n>\omega_{L}^{(1-\alpha)}\)).

El siguiente código en R nos permite generar 75,000 observaciones de la distribución de la distribución Lilliefors para n=30.

set.seed(1010)
m <- 7.5E4; n <- 30; L <- c()
for(i in 1:m)
{
  x <- rnorm(n)
  mu=mean(x) 
  sigma.2=var(x)
  z=(x-mu)/sqrt(sigma.2)
  z <- sort(z)
  fn <- ecdf(z)
  z0 <- c(min(z)-1, z[-n])
  dif1 <- max(abs(fn(z) - pnorm(z)))
  dif2 <- max(abs(pnorm(z) - fn(z0)))
  L[i] <- max(dif1, dif2)
}

v_criticos <- quantile(L, probs = c(0.80, 0.85, 0.90, 0.95, 0.99))
round(v_criticos, 3)

##   80%   85%   90%   95%   99% 
## 0.131 0.138 0.146 0.159 0.185

hist(L,freq=FALSE,breaks=100, main="Distribucion Lilliefors")
lines(density(L))

Un estudio se midio la temperatura (en grados fahrenheit) del cuerpo humano en una localidad, los resultados fueron los siguiente:

##       Temperatura Temperatura Temperatura
##  [1,]        97.4        98.2        98.1
##  [2,]        98.1        98.4        98.1
##  [3,]        98.9        98.6        97.9
##  [4,]        98.7        97.5        98.4
##  [5,]        98.0        98.3        97.4
##  [6,]        97.3        98.2        98.5
##  [7,]        98.4        98.2        97.2
##  [8,]        97.9        97.7        97.6
##  [9,]        98.3        97.4        98.0
## [10,]        97.3        97.8        97.9

Cargamos la función de la la prueba Lilliefors

PLPD<-function(x){
  n <- length(x) 
  mu <- mean(x) 
  sigma.2 <- var(x)
  z=(x-mu)/sqrt(sigma.2) 
  #Ordenamos la muestra 
  z=sort(z) 
  #Calculamos la funcion de distribucion empirica 
  Fn=ecdf(z) 
  #A la muestra ordenada le agregamos un nuevo minimo al principio 
  #Sirve para tener definido el caso F_n(z(0))=0 
  y=c(min(z)-1,z)
  #Inicializamos busqueda de supremo 
  D1=0 
  D2=0 

  for (i in 2:(n+1)){ 
    D1[i]=abs(Fn(y[i])-pnorm(y[i],0,1)) 
    D2[i]=abs(Fn(y[i-1])-pnorm(y[i],0,1)) 
  }
  Dn=max(D1,D2) 
  Dn
}

Entonces nos gustaría saber si nuestros datos siguen una distribución \(N(\mu,\sigma^2)\)

Fn<-ecdf(dat)
plot(Fn,col="darkblue")
curve(pnorm(x,mean(dat),sd(dat)),col="green4",add=TRUE,lwd=2)

Parece ser que las distribuciones se parecen, así que aplicaremos la prueba \(Lilliefors\)

PLPD(dat)

## [1] 0.121994

#Los cuantiles los obtuvimos previamente
##  90%     95%    99%
## 0.146   0.159  0.185

Por lotanto como \(L_n=0.121994\) es menor a \(\omega_{L}^{(95\%)} =0.159\) no se rechazaría \(H_0\), es decir, parece ser que la distribución \(N(\hat{\mu},\hat{\sigma}^2)\) se ajusta bien a la temperatura del cuerpo humano.

\(\textbf{Caso 1)}\) \(\,\mu\,\) conocida Como tenemos un parámetro conocido, ahora se tendría la siguiente hipótesis:

\[ H_0:F_X(x)=N(\mu_0,\sigma^2)\,\,\,v.s\,\,\,H_1:F_X(x)\neq N(\mu_0,\sigma^2) \]

En este caso sólo se procedería a estimar \(\sigma^2\) de la siguiente manera:

• \(\hat{\sigma}^2=\frac{\sum_{i=1}^{n} (X_i-\mu_0)^2}{n}\)

Después de estimar el parámetro procederemos a estandarizar nuestra muestra, es decir:

• \(Z_i=\frac{X_i-\mu_0}{\hat{\sigma}}\) con \(\hat{\sigma}=\sqrt{\hat{\sigma}^2}\)

De esta manera sabremos que bajo \(H_0\), \(Z_i \sim N(0,1)\).

Por lo tanto estariamos probando la siguiente hipótesis:

\[ H_0:F_Z(z)=N(0,1)\,\,\,v.s\,\,\,H_1:F_Z(z)\neq N(0,1) \] Y el estadístico de prueba sería:

\[ L_n=\sup_{z \in \mathbb{R}} \vert F_n(z)-F^*_Z(z)\vert =\sup_{z \in \mathbb{R}} \vert F_n(z)-\phi(z)\vert \]

Observemos dos aspectos importantes bajo \(H_0\):

• La distribución de \(L_n\) no dependerá de parámetros desconocidos.
• Si \(H_0\) es cierta entonces \(L_n\rightarrow 0\) y se rechazaría \(H_0\) cuando \(L_n>\omega_{L}^{(1-\alpha)}\), donde \(\omega_{L}^{(1-\alpha)}\) es el cuantil que acomula \(1-\alpha\) de probabilidad.

Dada una muestra observada \(x_1,\dots,x_n\) y una función de distribución \(N(\mu_0,\sigma^2)\):

• Se ordena la muestra, es decir se obtienen los estadísticos de orden \(x_{(1)},x_{(2)},\dots,x_{(n)}\)
• Se calculará \(\hat{\sigma}^2\)
• Se transforma la muestra en: \(z_{(i)}=\frac{x_{(i)}-\mu_0}{\hat{\sigma}}\), con \(\hat{\sigma}=\sqrt{\hat{\sigma^2}}\)
• Se calcula \(\phi(z_{(i)})\,\,\,\forall \,i\in\{1,\dots,n\}\)
• Se calcula \(F_n(Z_{(i)})=\frac{i}{n}\,\,\,\forall \,i\in\{1,\dots,n\}\)

• Se calcula \(L^+_n=\max\{\vert F_n(z_{(i)})-\phi(z_{(i)}) \vert \}\)
• Se calcula \(L^-_n=\max\{\vert \phi(z_{(i)})-F_n(z_{(i-1)}) \vert \}\) (Recordando que \(F_n(z_{(0)})=0\)).
• Se calcula \(L_n=\max\{L^+_n,L^-_n\}\)
• Se obtiene el \(p-vale\) o el cuantil \(\omega_{L}^{(1-\alpha)}\) y se determina si se rechaza o no se rechaza \(H_0\) (Se rechaza \(H_0\) si \(p-value < \alpha\) o si \(L_n>\omega_{L}^{(1-\alpha)}\)).

\(\textbf{Caso 2)}\) \(\,\sigma^2\,\) conocida

Como tenemos un parámetro conocido, ahora se tendría la siguiente hipótesis:

\[ H_0:F_X(x)=N(\mu,\sigma^2_0)\,\,\,v.s\,\,\,H_1:F_X(x)\neq N(\mu,\sigma^2_0) \]

En este caso sólo se procedería a estimar \(\mu\) de la siguiente manera:

• \(\hat{\mu}=\bar{X}=\frac{\sum_{i=1}^{n} X_i}{n}\)

Después de estimar el parámetro procederemos a estandarizar nuestra muestra, es decir:

• \(Z_i=\frac{X_i-\bar{X}}{\sigma}\) con \(\sigma=\sqrt{\sigma^2}\)

De esta manera sabremos que bajo \(H_0\), \(Z_i \sim N(0,1)\).

Por lo tanto estariamos probando la siguiente hipótesis:

\[ H_0:F_Z(z)=N(0,1)\,\,\,v.s\,\,\,H_1:F_Z(z)\neq N(0,1) \] Y el estadístico de prueba sería:

\[ L_n=\sup_{z \in \mathbb{R}} \vert F_n(z)-F^*_Z(z)\vert =\sup_{z \in \mathbb{R}} \vert F_n(z)-\phi(z)\vert \]

Observemos dos aspectos importantes bajo \(H_0\):

• La distribución de \(L_n\) no dependerá de parámetros desconocidos.
• Si \(H_0\) es cierta entonces \(L_n\rightarrow 0\) y se rechazaría \(H_0\) cuando \(L_n>\omega_{L}^{(1-\alpha)}\), donde \(\omega_{L}^{(1-\alpha)}\) es el cuantil que acomula \(1-\alpha\) de probabilidad.

Dada una muestra observada \(x_1,\dots,x_n\) y una función de distribución \(N(\mu,\sigma^2_0)\):

• Se ordena la muestra, es decir se obtienen los estadísticos de orden \(x_{(1)},x_{(2)},\dots,x_{(n)}\)
• Se calculará \(\hat{\mu}=\bar{x}\)
• Se transforma la muestra en: \(z_{(i)}=\frac{x_{(i)}-\bar{x}}{\sigma_0}\), con \(\sigma_0=\sqrt{\sigma^2_0}\)
• Se calcula \(\phi(z_{(i)})\,\,\,\forall \,i\in\{1,\dots,n\}\)
• Se calcula \(F_n(Z_{(i)})=\frac{i}{n}\,\,\,\forall \,i\in\{1,\dots,n\}\)

• Se calcula \(L^+_n=\max\{\vert F_n(z_{(i)})-\phi(z_{(i)}) \vert \}\)
• Se calcula \(L^-_n=\max\{\vert \phi(z_{(i)})-F_n(z_{(i-1)}) \vert \}\) (Recordando que \(F_n(z_{(0)})=0\)).
• Se calcula \(L_n=\max\{L^+_n,L^-_n\}\)
• Se obtiene el \(p-vale\) o el cuantil \(\omega_{L}^{(1-\alpha)}\) y se determina si se rechaza o no se rechaza \(H_0\) (Se rechaza \(H_0\) si \(p-value < \alpha\) o si \(L_n>\omega_{L}^{(1-\alpha)}\)).

Una de las grandes ventajas que tenemos al conocer la distribución de \(L_n\), es que podemos obtener bandas de confianza para \(F_Z(z)=N(0,1)\) o de manera análoga para \(F_x(x)=N(\mu,\sigma^2)\) bajo \(H_0\).

\[ \mathbb{P}(L_n\leq\omega_{L}^{(1-\alpha)}) = \mathbb{P}(\sup_{z \in \mathbb{R}} \vert F_n(z)-\phi(z)\vert\leq\omega_{L}^{(1-\alpha)}) \\ \\ = \mathbb{P}(\vert F_n(z)-\phi(z)\vert\leq\omega_{L}^{(1-\alpha)})\,\,\,\forall\,\,\,z \in \mathbb{R} \\ = \mathbb{P}( -\omega_{L}^{(1-\alpha)})\leq \phi(z)-F_n(z)\leq\omega_{L}^{(1-\alpha)})\,\,\,\forall\,\,\,z \in \mathbb{R} \\ =\mathbb{P}( F_n(z)-\omega_{L}^{(1-\alpha)}\leq \phi(z)\leq F_n(z)+\omega_{L}^{(1-\alpha)})\,\,\,\forall\,\,\,z \in \mathbb{R} \\ \therefore \phi(z)\in(F_n(z)-\omega_{L}^{(1-\alpha)},F_n(z)+\omega_{L}^{(1-\alpha)}) \]

• Como la idea intuitiva proviene de la prueba \(K-S\), se herendan varias de sus propiedas, justo la prueba Lillefors es un caso partitular de la prueba \(K-S\).
• También se pueden aplicar las pruebas de una cola.
• De manera general se hace el contraste con una distribución \(N(\mu,\sigma^2)\) bajo \(H_0\).